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[Matemáticas Aplicadas] 3. Funciones

ÍNDICE
  • Funciones
    • Dominio
    • Codominio
    • Imagen
    • Tipos de funciones
      • Función inyectiva
      • Función epiyectiva
      • Función biyectiva
  • Función lineal
  • Función cuadrática
  • Función exponencial
  • Función logarítmica
  • Funciones trigonométricas
    • Función Seno
    • Función Coseno
    • Función Tangente
  • Función raíz
  • Función potencial
  • Función polinómica
  • Función racional


FUNCIONES

El concepto de función se refiere a una regla o algoritmo que asigna a cada elemento de un conjunto X un único elemento de un segundo conjunto Y.

Por ejemplo, el conjunto X podría ser un conjunto de nombres (Carlos, Ana...) y el conjunto Y las letras del abecedario (A, B, C, D, E...). Así, para cada nombre del conjunto X tendríamos una única inicial dentro del conjunto Y (Carlos → C, Ana → A...), por lo que la función f sería la regla o algoritmo que deberíamos aplicar para sacar el valor único del conjunto Y dado el valor del conjunto X.


El dominio de la función es el conjunto de valores que puede tomar x, es decir, los valores del conjunto X.

El codominio de la función es el conjunto de valores sobre el que se aplica la función para obtener el valor y, es decir, los valores del conjunto Y.

La imagen de la función es el conjunto de valores que puede tomar f(x), es decir, los valores del conjunto Y una vez aplicada la función.

Podemos establecer la siguiente clasificación básica de las funciones:
  • Función Inyectiva: Una función inyectiva (o función uno a uno) es aquella en la que para cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio, pero no a la inversa.
  • Función Epiyectiva: Una función epiyectiva es aquella en la que todos los elementos del codominio son imagen de, al menos, un elemento del dominio; en otras palabras, si todos valor de Y se corresponde con algún valor de X.
  • Función Biyectiva: Una función biyectiva es aquella que es inyectiva y epiyectiva a la vez, es decir, que cada valor del dominio se corresponde con un único valor del codominio.


FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es aquella representada por una línea recta en el plano cartesiano. Por tanto, su función será la ecuación punto-pendiente que vimos en el apartado de Geometría Analítica.


Si m = 0, la función será constante.
Si m < 0, la función será decreciente.
Si m > 0, la función será creciente.


FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática está representada por una parábola vertical.


Como se puede observar, se trata de una ecuación de segundo grado, cuya resolución es la siguiente:



Si a < 0, la parábola está orientada hacia abajo
Si a > 0, la parábola está orientada hacia arriba


FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial está representada por una curva sobre el eje X.


Si a > 1, la función es creciente.
- Si x > 0, la función siempre es > 1.
- Si x < 0, la función siempre está entre [0, 1].
Si 0 < a < 1, la función es decreciente.
- Si x > 0, la función siempre está entre [0, 1].
- Si x < 0, la función siempre es > 1.

Si a = 1, la función se convierte en una función lineal.

Si a < 0, la función se invierte en el eje X.








FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función logarítmica está representada por una curva sobre el eje Y.


Si a < 1, la función es creciente.
Si 0 < a < 1, la función es decreciente.
Si x = 1, la función siempre vale 0.

El crecimiento de estas funciones es menor que el crecimiento de las funciones exponenciales.


FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas pueden ser definidas a través de la circunferencia unitaria (radio = 1), centrada en el origen.
La función seno tiene un recorrido de -1 a 1, siendo periódica con período en 2π.
La función coseno tiene un recorrido de -1 a 1, siendo periódica con período en 2π.

La función tangente tiene un recorrido de todos los números reales (ℝ), siendo periódica con período en π.




FUNCIÓN RAÍZ





FUNCIÓN POTENCIAL





FUNCIÓN POLINÓMICA





FUNCIÓN RACIONAL





BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA


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[Matemáticas Aplicadas] 2. Trigonometría básica

ÍNDICE
  • Trigonometría básica
  • Unidades de medida de los ángulos
    • Radianes
    • Grados sexagesimales
  • Seno del ángulo
  • Coseno del ángulo
  • Tangente del ángulo
  • Razones trigonométricas inversas
    • Cosecante del ángulo
    • Secante del ángulo
    • Cotangente del ángulo
  • Funciones trigonométricas inversas
    • Arcoseno del ángulo
    • Arcocoseno del ángulo
    • Arcotangente del ángulo
  • Signos de las razones trigonométricas
  • Identidades trigonométricas básicas
  • Trigonometría en otros sistemas de coordenadas
    • Coordenadas polares
    • Coordenadas esféricas
  • Caso práctico
  • Bibliografía y webgrafía


TRIGONOMETRÍA BÁSICA

La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de la relación entre los lados de un triángulo y sus ángulos.


UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

Hay dos tipos de medida de ángulos principales, los radianes y los grados sexagesimales.

El radián es la unidad de ángulo plano utilizada en el Sistema Internacional de Unidades. Básicamente representa el ángulo como la longitud del arco delimitado entre los dos radios del ángulo dividida entre el radio en sí, es decir:


De este modo, vemos que el círculo completo son 2π radianes.

El grado sexagesimal es la unidad del ángulo utilizada en el sistema sexagesimal, y es a la que estamos más acostumbrados. Básicamente parte de la premisa de que un ángulo recto tiene 90º, por lo que el círculo completo son 360º.

La conversión entre ellos se puede llevar a cabo haciendo una sencilla regla de tres:





SENO DE UN ÁNGULO

Si nos fijamos en esta imagen, podemos ver que existen tres triángulos en ella: AOB, A'OB' y A''OB''. Así, para un mismo ángulo α, podemos ver que la altura de los catetos opuestos AB, A'B' y A''B'' son directamente proporcionales a la longitud de sus hipotenusas OB, OB' y OB'', es decir, que si sacamos la constante de proporcionalidad de cada uno de estos catetos con respecto a sus hipotenusas, dicha constante de proporcionalidad será igual en las tres, o dicho de otro modo:


Pues bien, a dicha constante de proporcionalidad es a la que comúnmente se le denomina en trigonometría el seno del ángulo α:




COSENO DE UN ÁNGULO

Si nos volvemos a fijar en la imagen inicial, podemos ver que la misma proporcionalidad directa que hay entre el tamaño de los catetos opuestos con sus hipotenusas se puede aplicar a los catetos adyacentes OA, OA' y OA'', es decir:


A la constante de proporcionalidad entre el cateto adyacente y la hipotenusa es a lo que denominaremos en trigonometría como el Coseno del ángulo α:




TANGENTE DE UN ÁNGULO

Una vez definidas las relaciones entre los catetos con su hipotenusa, lo único que nos queda por determinar es la relación de catetos entre sí, y a esto es a lo que en trigonometría se conoce como la Tangente del ángulo α:




RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

A parte de las tres relaciones básicas que hemos nombrado (seno, coseno y tangente) se encuentran otras que son las inversas de las anteriores.

La Cosecante del ángulo α es la inversa del seno del ángulo α, es decir:


La Secante del ángulo α es la inversa del coseno del ángulo α, es decir:


La Cotangente del ángulo α es la inversa de la tangente del ángulo α, es decir:




FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas. Es muy fácil confundirlas con las razones trigonométricas inversas, por lo que hay que tener especial cuidado.

El Arcoseno del ángulo α (arcsin o sin-1) es la función inversa del seno de α:


El Arcocoseno del ángulo α (arccos o cos-1) es la función inversa del coseno de α:


La Arcotangente del ángulo α (arctan o tan-1) es función inversa de la tangente de α:




SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Dependiendo del cuadrante, cada razón trigonométrica tendrá siempre el mismo signo, sea cual sea su valor.
         Seno/Cosecante      Coseno/Secante    Tangente/Cotangente


IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas y que nos pueden ayudar a la hora de simplificar operaciones, dado que computacionalmente las operaciones trigonométricas son bastante costosas.
Relación Pitagórica
Identidad de la razón

Combinando estas dos identidades, se pueden establecer las funciones trigonométricas de cada razón trigonométrica con respecto a las otras, aunque en estas ecuaciones el signo devuelto puede resultar incorrecto, por lo que se necesita saber los valores para los cuales la función trigonométrica es positiva o negativa (ie, para sin θ = ½ la conversión sería  pero podría ser que ).




TRIGONOMETRÍA EN OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS

Dependiendo del sistema de coordenadas que utilicemos, es posible que necesitemos realizar una conversión al sistema de coordenadas cartesiano para poder trabajar con las funciones trigonométricas.
Para el sistema de coordenadas polares, dado que este especifica un ángulo y una distancia con respecto al origen, las transformaciones son relativamente sencillas haciendo uso de las razones trigonométricas y del teorema de Pitágoras:

Para el sistema de coordenadas esféricas es un poco más complejo, dado que tenemos tres dimensiones.




CASO PRÁCTICO

Supongamos que tenemos un enemigo situado en el punto e (ex, ey), un jugador en el punto p (px, py) y queremos que el enemigo persiga al jugador en cuanto entre dentro de su rango.

Si unimos los dos puntos obtendremos una recta, que estará inclinada con respecto al eje x con una pendiente m, que como vimos en el apartado de Geometría, se puede calcular aplicando la siguiente fórmula:

Con la pendiente calculada, que se corresponde con la tangente de α, podemos obtener el ángulo de inclinación α mediante la aplicación del arcotangente:


Ahora que tenemos el ángulo, ya podemos aplicar las funciones de seno y coseno para determinar la posición del enemigo en cada frame para que persiga al jugador:


Y si lo que queremos es que el enemigo huya del jugador (imaginaos al Pac-Man después de comerse una de las bolas especiales) bastaría con invertir los signos de suma y resta.


BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA

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